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祖冲之与圆周率
日期:2016-04-29 】【打印 关闭

         在对自然界的认识上,直线和圆大概是人最早引起注意的几何图形. 其中圆的图形,容易从太阳、满月、向日葵的花盘、一些花的形状,以及水面的涟漪上体会到. 另一方面,人们对于周期性变化的事物较有兴趟,亚里士多德(公元前384~前322年)说“圆运动先于直线运动,因为它比较单一”,“循环运动是一切运动的尺度”.圆形的轮子是人类历史上最重要的发明之一,由其衍生出来的齿轮在工业革命中起到了无法代替的作用.对于圆,人们开始注意圆的直径D 决定了其大小,同样也会注意到圆的周长C,并逐步加深了对二者之间关系的认识. 经过很长一段时间,才会认识到周长与直径成正比:C=D =圆周率。

        1736 年,瑞士数学家欧拉(Euler, 1707|1783)提倡以希腊字母π(音:pai) 来表示圆周率,π是圆周的希腊文(英文为periphery) 的字头. 欧拉的建议后来逐渐为大家接受. 直到现在,π已成为圆周率的专用符号.

1 祖冲之对圆周率计算的贡献

         祖冲之(429~500年),字文远,范阳郡遒县(今河北省保定市涞水县) 人,是我国南北朝时期著名数学家、天文学家.《隋书.律历志》有如下记载:“宋末,南徐州从事祖冲之更开密法.以圆径一亿为丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间.密率:圆径一百一十三,圆周三百五十五. 约率,圆径七,周二十二.”这一记录指出:祖冲之关于圆周率有两大贡献.其一是,求得圆周率:3.141592 6 < π <3.141 592 7其二是,得到π的两个近似分数:约率为22/7;密率为355/113.

图 1

        祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》,记录了他对圆周率的研究和成果. 但当时“学官莫能究其深奥,是故废而不理”,以致后来失传.很多人都知道用密率355/113 表示π的近似值,是一项了不起的贡献.密率355/113传到了日本后,日本数学史家三上一夫1913年建议将祖冲之圆周率的密率数值命名为“祖率”,得到大家一致赞同.祖冲之对圆周率的求索,超过了世界水平整整1000年!直到16世纪德国人V.奥托才发现了圆周率的密率355/113.但是“祖率”的妙处和给今人留下的困惑,不少人却说不出来.

        祖率(密率) 是圆周率十分精确的近似值,且又很好记,只要将113 355一分为二,便是它的分母和分子了. 张景中院士在《数学家的眼光》一书中指出:它与π精确值的误差不超过0.000 000 267. 在数学家看来,好的近似分数,既要精确,分母最好又不太大. 现今数学上已不难证明,在所有分母不超过16 500的分数中,密率355/113是当之无愧的冠军.因为《缀术》失传了,祖冲之究竟是用什么方法将π算到小数点后第7位,又是怎样找到既精确又方便的密率的呢?这至今仍是困惑数学家的一个谜.在中国科协2008年3月13日出版的《科技导报》杂志的第26卷第5期《18个中国公众关注的科技问题》一文中,己将“祖冲之究竟是怎样计算出圆周率π值的?”列为公众关注的未解科学难题之一.

2 圆周率研究的历史纪录

为简化书写,以下一律将圆周率写为π.

公元前2000年,巴比伦,π= 3= 3:125. 埃及,π= 3:160 5.

公元前1200年,中国,π= 3 (径一周三)

公元前550年,旧约圣经,π= 3

公元前3世纪,阿基米德割圆术,即3:140 845< π < 3:142857

公元130年,后汉书,π=101/2

公元264年,刘徽“割圆术”,π约等于3:141 59,徽率π= 3.14

公元400年,印度,π= 3:141 6

       公元5世纪,祖冲之,3:141 592 6 < π <3.141592 7, 约率π=22/7, 密率π=355/113

1436年之前,中亚,AI-ashi,计算至小数点后16位

1573年,德国,V.Otto,π=355/113

1596年,荷兰,Ludolph,计算至小数点后35位(己刻在其墓碑上)

1705年,Sharp,计算至小数点后72位

1706年,英国,Machin,计算至小数点后100位

1794年,Vega,计算至小数点后140位

1844年,奥地利,Strassnitzky与Dase,计算至小数点后200位

1847年,Clausen,计算至小数点后248位

1853年,Rutherford,计算至小数点后440位

1855年,Riehter,计算至小数点后500位

1873—1874年,Shanka,计算至小数点后707位(后发现527位以后有误),1937年7月此结果进入巴黎发现宫π大厅,1949年对其中527位以后的数字进行了修改。

1947年,Ferguson,用台式计算机计算至小数点后808位以下为电子计算机时代的结果。

 1948年,计算至小数点后2 037位

 1954年,计算至小数点后3089位

 1957年,计算至小数点后10021位(7 480 位以后有误)

 1958年,计算至小数点后10000位

 1959年,计算至小数点后16167位

 1961年,计算至小数点后20000位

 1966年,计算至小数点后25万位

 1967年,计算至小数点后50万位

 1983年,计算至小数点后1000万位

 1987年,计算至小数点后1亿位

1989年,计算至小数点后10亿位

1995年,计算至小数点后42.9亿位

1999年,计算至小数点后2061亿位

2003年,计算至小数点后1.24万亿位

2011年8月,计算至小数点后5万亿位

2011年9月17日,(云计算,用1 000台计算机同时) 计算至小数点后2千万亿位

3 推动对π计算的原因和π的性质

 实际上3.1416一般情况下己够用了,这样的计算并没有什么实际上的需要. 但究竟是什么原因推动了这种对π的计算狂热呢?

从积极方面看,大致的理由是:

(1) 计算π有各种计算方法,采用同一台计算机,可以比较哪种方法能用较少的工作量算出更高精度的π值.

(2) 采用同一种计算π的方法,对不同的计算机的能力也是一个比较和考验.

(3) 希望算出π在小数点后更多的数值来观察和研究π的性质. 如π是有理数,则是一个有限小数,或无限循环小数;如π是无理数,就是无限不循环小数. 大量的计算可看出些端倪,给进一步的严格证明提供启示.

 当然也有希望创记录、一举成名的心理因素. 以往也常有死背π很多位值的事,以锻炼记忆力. 其实这对于圆周率π的研究,己无多大意义.

π的性质

1767年,兰伯特(H.Lambert) 证明了π 是无理数.

1775年,欧拉又提出问题:π会不会是一个整系数代数方程的根,即是一个代数数呢?如果不是代数数,就称为超越数.

1882年,林德曼(F.von Lindermann) 在欧拉提出问题的107 年后,证明了π是一个超越数.    

从人类对圆周率π的认识不断深化的历史,可以看出科学是充满活力并不断开拓前进的!

4 国际上对圆周率日的纪念

 美国麻省理工学院首先倡议将3 日14 日(寓意3.14) 定为国家圆周率日(National pi Day). 在这一天,学生们会彼此祝福“圆周率日快乐!” 用熟悉的生日歌旋律唱起《happy piday toyou》!学院众多对圆周率有兴趣的人聚在一起讨论圆周率问题,吃馅饼(英文pie,与圆周率英文pi 同音) 以及其他各种以圆周率为主题的食物,举行圆周率背诵比赛.


图 2

全球各地的一些著名大学的数学系,也在3 月14 日举行庆祝会. 在圆周率日当天,加拿大滑铁庐大学还会供应免费的馅饼来庆祝. 而3 月14 日恰好又是著名的物理学家爱因斯坦(Albert Einstein,1879—1955) 的生日. 所以他们又「择时辰」以庆祝圆周率日:选择在下午1 时59分开始庆祝,它代表3.141 59 (准确至六位小数) 的圆周率近似值.

图 3

图 4

图 5

2009 年3 月9 日,美国众议院正式通过了一项法案,将每年的3 月14 日定为美国国家圆周率日. 美国竞争技术协会主席Jonathan Zuck 认为它将是改进数学和科学教育的机遇.

图 6

5 中国对祖冲之和圆周率日的纪念

华罗庚先生在1964 年曾说:“祖冲之虽已去世一千四百多年,但他的广泛吸收古人成就而不为其所拘泥、艰苦劳动、勇于创造和敢于坚持真理的精神,仍旧是我们应当学习的榜样”.

1967 年11 月9 日紫金山天文台将1964 年发现的小行星1888(1964 VO1) 命名为祖冲之小行星.

1967 年国际天文学家联合会将月球上的一座环形山命名为“祖冲之环形山”。

图  7

图 8

为纪念祖冲之这位祖藉河北保定的科学家,在他的故乡河北保定市,河北大学1986 年9 月9 日在图书馆的大门前,建立了祖冲之塑像.

图 9

1992 年河北保定涞水一中为纪念祖冲之,改名为祖冲之中学. 2005 年河北省将河北祖冲之中学确定为省示范性高中, 建祖冲之塑像.

祖冲之是中华民族的骄傲,也是当今创新研究和发展的榜样. 为向祖冲之学习和纪念他对圆周率的贡献,我们建议:国家将3 月14日设立为祖冲之纪念日.


图 10

图 11

图 12

 

 (转载自《力学与实践》,撰稿人王振东,姜楠)

 


 

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